範囲と分散

データの「ばらつき」を測る指標、範囲と分散を学びましょう。

白銀 ゆき

代表値だけではデータの全貌は見えないの。ばらつき?を測る指標も必要よ。

若葉 みどり 先生

最もシンプルなのは範囲?(レンジ)。
最大値 - 最小値で計算するわ。

胡桃 あんず

それは簡単だね!

白銀 ゆき

補足すると、範囲は外れ値の影響をまともに受けやすいから、本格的なばらつき指標には分散を使うの。

桜井 もも

ふぇぇ…分散?って何ですかぁ?

白銀 ゆき

分散は『各データと平均の差(=偏差)を二乗して、平均したもの』。
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / n よ。

胡桃 あんず

なんで二乗するの?

若葉 みどり 先生

ふふ、偏差には正と負があって、そのまま足すと必ず0になってしまうの。
二乗すれば符号が消えて、ばらつきの大きさだけを取り出せるのよ。

桜井 もも

なるほどぉ、平均からのズレを二乗してから平均する、ってことなんだね♪

白銀 ゆき

1つ注意ね。
参考書で n−1 で割る式(不偏分散)を見ることがあるけど、その本格的な扱いは2級範囲。
3級では『n で割る分散』を使えば十分よ。
記号も母集団の μ・σ² で統一して覚えておくと混乱しないわ。

範囲と分散の計算

データ: {60, 70, 80, 90, 100}

ステップ1: 範囲
  範囲 = 最大 - 最小 = 100 - 60 = 40

ステップ2: 平均
  平均 μ = (60+70+80+90+100)/5 = 80

ステップ3: 偏差 (xᵢ - μ)
  60 - 80 = -20
  70 - 80 = -10
  80 - 80 =   0
  90 - 80 =  10
 100 - 80 =  20

ステップ4: 偏差の二乗 (xᵢ - μ)²
  (-20)² = 400
  (-10)² = 100
    0² =     0
   10² =   100
   20² =   400
          ────
      合計 1000

ステップ5: 分散
  分散 σ² = 1000 / 5 = 200