重要公式集

📊 1変量データの整理

平均値        x̄ = Σxᵢ / n

度数分布表の平均   x̄ = Σ(階級値 × 度数) / Σ度数

範囲          R = 最大値 − 最小値

分散          σ² = Σ(xᵢ − μ)² / n
                  = E[X²] − μ²    (便利式)

標準偏差       σ = √分散

不偏分散       u² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)

Z得点         Z = (x − μ) / σ

偏差値         T = 50 + 10 × Z

四分位範囲      IQR = Q3 − Q1

外れ値の境界    Q1 − 1.5×IQR  /  Q3 + 1.5×IQR

変動係数       CV = σ / μ  (×100% で百分率)

🔗 2変量データと相関

共分散         s_xy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / n

相関係数       r = s_xy / (σx × σy)
              -1 ≤ r ≤ +1

回帰直線       y = a + bx
  傾き         b = s_xy / σx²
  切片         a = ȳ − b × x̄

決定係数       R² = r²

予測値         ŷ = a + b × x_new

残差          eᵢ = yᵢ − ŷᵢ

🎲 確率

余事象の確率    P(Aᶜ) = 1 − P(A)

加法定理       P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
排反のとき     P(A∪B) = P(A) + P(B)

乗法定理       P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
独立のとき     P(A∩B) = P(A) × P(B)

条件付き確率    P(B|A) = P(A∩B) / P(A)

ベイズの定理    P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)

📈 確率分布

期待値         E[X] = Σ x × P(X=x)

線形変換       E[aX + b] = a × E[X] + b
              V(aX + b) = a² × V(X)

二項分布 B(n, p)
  P(X=k)      = nCk × p^k × (1−p)^(n−k)
  E[X]        = np
  V(X)        = np(1 − p)
  σ(X)        = √(np(1−p))

正規分布 N(μ, σ²)
  68-95-99.7  μ ± σ:    約 68%
              μ ± 2σ:   約 95%
              μ ± 3σ:   約 99.7%

標準化         Z = (X − μ) / σ
              X ~ N(μ, σ²) → Z ~ N(0, 1)

二項分布の正規近似 (np ≥ 5 かつ n(1−p) ≥ 5)
              B(n, p) ≈ N(np, np(1−p))

🎯 統計的推測の基礎

標本平均       x̄ = Σxᵢ / n
              E[x̄] = μ
              V[x̄] = σ² / n
              標準誤差 SE = σ / √n

大数の法則      n → ∞ で x̄ → μ

中心極限定理    n が大きいとき
              x̄ ~ N(μ, σ²/n)  (近似)

不偏推定       x̄ は μ の不偏推定量
              u² (n−1で割る) は σ² の不偏推定量

🧮 組合せ・順列(参考)

階乗          n! = n × (n−1) × … × 1
              0! = 1

順列          nPk = n! / (n−k)!

組合せ         nCk = n! / (k! × (n−k)!)
              短縮: C(5,2) = (5×4)/(2×1) = 10

📐 標準正規分布表を見る →