四分位数と四分位範囲

箱ひげ図のもととなる四分位数と、外れ値検出に使う四分位範囲(IQR)を学びます。

白銀 ゆき

データを4等分する目印が四分位数?。
Q1(第1四分位)、Q2(中央値)、Q3(第3四分位)の3つがあるわ。

桜井 もも

中央値が真ん中なんですねぇ?

若葉 みどり 先生

ふふ、そう。
下から25%の位置がQ1、50%が中央値=Q2、75%がQ3。

胡桃 あんず

じゃあ四分位範囲?IQRって何?

白銀 ゆき

IQR = Q3 - Q1。
データの中央50%の幅を表すの。
範囲(レンジ)と違って外れ値の影響を受けにくいわ。

桜井 もも

IQRが小さいと、データが中央付近に集まってるってことですねぇ♪

若葉 みどり 先生

そして外れ値の検出には、『Q1 - 1.5×IQR より小さい値』や『Q3 + 1.5×IQR より大きい値』を外れ値とみなす1.5倍ルールがよく使われるのよ。

胡桃 あんず

なんで1.5倍なの?
2倍じゃダメなのかな?

若葉 みどり 先生

ふふ、これは慣習的な経験則なの。
正規分布に近いデータなら、1.5×IQRの外側に出る値はごく稀になる、という目安からきているのよ。
だから1.5を使うのが一般的だけど、絶対の決まりではないわ。

胡桃 あんず

なるほど、ちょうどいい厳しさってことか。
1.5倍ルール、覚えとこ!

四分位数とIQRの計算

データ (8個): {3, 5, 7, 10, 12, 15, 18, 20}

ステップ1: 中央値 (Q2)
  4番目(10)と5番目(12)の平均 = 11

ステップ2: 第1四分位数 (Q1) = 下半分 {3, 5, 7, 10} の中央値
  2番目(5)と3番目(7)の平均 = 6

ステップ3: 第3四分位数 (Q3) = 上半分 {12, 15, 18, 20} の中央値
  2番目(15)と3番目(18)の平均 = 16.5

ステップ4: 四分位範囲 IQR
  IQR = Q3 - Q1 = 16.5 - 6 = 10.5

外れ値の境界 (1.5倍ルール)
  下限: Q1 - 1.5×IQR = 6 - 15.75 = -9.75
  上限: Q3 + 1.5×IQR = 16.5 + 15.75 = 32.25
  → 範囲外のデータを外れ値とみなす