データの標準化

異なる単位・異なる尺度のデータを比較するには「標準化」が必要です。

茶谷 結

標準化?とは、データをZ得点に変換すること。
Z = (x - μ) / σ で計算するの。

白河 恭子 先生

ふふっ、標準化したデータは平均0、標準偏差1になるのよ。
こうすると、異なるスケールのデータどうしも比較できるようになるの。

橙川 こよみ

ふぇぇ…身長(cm)と体重(kg)も比べられちゃうんですかぁ?

茶谷 結

ええ。
それぞれを標準化すれば、たとえば『この人は身長Z=1.5、体重Z=2.0だから、相対的には体重のほうがより外れている』と言えるの。

墨谷 まる

マジで!?
単位がちがっても比べられるなんてすごいじゃん!

白河 恭子 先生

標準化すると正規分布表が使えるようになるのもポイントね。
次の確率分布のカテゴリで詳しくやりましょう。

橙川 こよみ

ほんとに平均0・標準偏差1になるのか、ちょっと自分で確かめてみたいですぅ。

茶谷 結

いいわね。
小さなデータで実際にZ化して、平均と標準偏差を計算してみましょう。

標準化すると平均0・標準偏差1になるか確かめる

データ: {2, 4, 6, 8, 10}
  平均 μ = 6
  分散 σ² = ((-4)²+(-2)²+0²+2²+4²)/5 = (16+4+0+4+16)/5 = 8
  標準偏差 σ = √8 ≈ 2.83

各値を Z = (x − 6) / 2.83 で標準化
  2  → (2−6)/2.83  ≈ −1.41
  4  → (4−6)/2.83  ≈ −0.71
  6  → (6−6)/2.83  =    0
  8  → (8−6)/2.83  ≈  0.71
 10  → (10−6)/2.83 ≈  1.41

Z値の平均 = (−1.41−0.71+0+0.71+1.41)/5 = 0
Z値の分散 = (1.41²+0.71²+0+0.71²+1.41²)/5 = (2+0.5+0+0.5+2)/5 = 1
  → Z値の平均は0、標準偏差は√1=1 になっている!