期待値の計算

確率変数の『平均値』にあたる期待値の計算は、3級頻出ポイントです。

茶谷 結

期待値?E[X] は、確率変数Xの値とその確率の積を全て足したもの。
E[X] = Σ x × P(X=x) よ。

白河 恭子 先生

ふふ、サイコロのE[X] = 1×1/6 + 2×1/6 + ... + 6×1/6 = 21/6 = 3.5 ね。

墨谷 まる

おお、サイコロの期待値は3.5だ!
よく聞く話だね。

橙川 こよみ

ふぇぇ…宝くじの期待値がよく話題になるのも、これが理由なんですかぁ?

茶谷 結

そうなの。
宝くじの期待値は購入金額の半分以下のことが多くて、長期的には損する仕組みになっているのよ。

白河 恭子 先生

ギャンブルの還元率も実は期待値の話。
100円を賭けて期待値が80円なら、長期的には20円ずつ損するわ。

期待値の計算例

公式: E[X] = Σ x × P(X=x)

例1: サイコロの出目X
  E[X] = 1×(1/6) + 2×(1/6) + ... + 6×(1/6)
       = (1+2+3+4+5+6)/6
       = 21/6
       = 3.5

例2: 賞金つき宝くじ (10000円が確率0.001、10円が0.4、外れ0.599)
  E[X] = 10000×0.001 + 10×0.4 + 0×0.599
       = 10 + 4 + 0
       = 14円
  → 100円のくじなら期待値は14円、つまり86円損することが期待される

例3: 公平なコインで賞金 (表→200円、裏→0円)
  E[X] = 200×0.5 + 0×0.5 = 100円

例4: 期待値の線形性 E[aX+b] = aE[X] + b
  サイコロの出目X (E[X]=3.5) で 2X+1 の期待値
  E[2X+1] = 2×E[X] + 1 = 2×3.5 + 1 = 8