加法定理

『AまたはB』の確率を求める加法定理を学びます。

茶谷 結

加法定理?は、P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) よ。

橙川 こよみ

どうしてP(A∩B)を引くんですかぁ?

白河 恭子 先生

両方に共通する部分を二重に数えてしまうから、引く必要があるのよ。
ベン図を描くと一目瞭然ね。

墨谷 まる

排反?な事象の場合は?

茶谷 結

AとBが排反(同時に起こらない)なら、P(A∩B)=0 だから、P(A∪B) = P(A) + P(B) と単純に足し算できるのよ。

白河 恭子 先生

サイコロで『2が出る』と『5が出る』は排反だから、確率をそのまま足せばOKよ。

橙川 こよみ

えへへ、重ならない事象なら、足すだけでいいんですねぇ♪

加法定理の例

サイコロ1個を振る。
  A = 偶数, B = 3以上の目

前回の結果より
  P(A) = 1/2, P(B) = 2/3, P(A∩B) = 1/3

加法定理
  P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
         = 1/2 + 2/3 - 1/3
         = 3/6 + 4/6 - 2/6
         = 5/6

排反の場合
  C = 1の目, D = 2の目 (排反)
  P(C∪D) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

文章を「和集合」に置き換える

加法定理は「AまたはB」「少なくとも一方」という表現が合図です。受験者60人のうち、数学を復習した人が35人、英語を復習した人が30人、両方を復習した人が18人なら、少なくとも一方を復習した人は 35+30-18=47人 です。全体から引けば、どちらも復習していない人は60-47=13人と分かります。確率で求めるなら、すべての人数を60で割っても同じ結果になります。

式を選ぶチェック手順

1. 求めるものが「AまたはB」ならP(A∪B)と書く。
2. AとBが同時に起こるか確認する。起こるなら共通部分P(A∩B)を1回引く。
3. 「どちらでもない」なら、最後に1-P(A∪B)を計算する。

「排反」と「独立」は別の性質です。排反は同時に起きないこと、独立は一方の発生が他方の確率を変えないことです。正の確率をもつ排反な二事象は独立ではありません。問題文の「互いに排反」「互いに独立」を読み替えず、そのまま対応する式に結び付けましょう。

範囲の確認先: 統計検定センター「統計検定3級」