乗法定理

『AかつB』の確率を求める乗法定理を学びます。

茶谷 結

乗法定理?は、P(A∩B) = P(A) × P(B|A) よ。
P(B|A)は『Aが起こったときのBの条件付き確率』ね。

墨谷 まる

条件付き確率は次回詳しくやるんだよね!

白河 恭子 先生

そう、簡単に言うと『Aが起きた』という前提下でのBの確率。

茶谷 結

AとBが独立なら、P(B|A) = P(B) なので、P(A∩B) = P(A) × P(B) と単純化できるの。

橙川 こよみ

コインを2回投げて両方表の確率は (1/2)×(1/2) = 1/4 ですかぁ?

白河 恭子 先生

正解よ!
各回が独立だからシンプルに掛け算ね。

白河 恭子 先生

3級では『赤玉◯個・白玉◯個から戻さず2回引く』型がそのまま出題されるわ。
1回目の結果で残りの個数が変わる点を必ず確認してね。

乗法定理の例

例1: 独立試行 (コインを2回投げる)
  A = 1回目が表, B = 2回目が表
  P(A) = 1/2, P(B) = 1/2
  P(A∩B) = P(A) × P(B) = 1/4

例2: 非独立 (赤玉2個・白玉3個から取り出す, 戻さない)
  A = 1回目が赤, B = 2回目が赤
  P(A) = 2/5
  P(B|A) = 1/4 (Aが起きると残り赤1個・白3個)
  P(A∩B) = (2/5)(1/4) = 2/20 = 1/10

樹形図で条件付き確率を更新する

赤玉3個、青玉2個から戻さず2個取るとします。「1個目が赤、2個目が青」の確率は、最初の赤が3/5、その後は残り4個中青2個なので、(3/5)×(2/4)=3/10です。2段目の分母が5のままではない点が重要です。戻してから2個目を取る設定なら、構成は元に戻るため(3/5)×(2/5)=6/25になります。

「赤と青が1個ずつ」のように順序を指定しない場合は、赤→青と青→赤の二経路があります。赤→青は3/10、青→赤は(2/5)×(3/4)=3/10なので、加法定理で合計3/5です。各経路の「かつ」は掛け、別々の経路の「または」は足す、と樹形図で整理できます。

試験での見分け方

• 「AかつB」「連続して」「順に」は乗法定理を考える。
• 戻さない抽出では、残り個数と条件付き確率を更新する。
• 独立と書かれている、または各試行で条件が元に戻る場合だけP(A)P(B)へ単純化する。
• 順序を問わない複数経路は、各経路を掛け算した後に足し合わせる。

範囲の確認先: 統計検定センター「統計検定3級」