場合の数・順列・組合せ

確率計算の前提となる『場合の数』『順列』『組合せ』を整理しましょう。3級頻出の基礎技術です。

橙川 こよみ

二項分布に出てきた C(n,k) って何だっけ?

茶谷 結

組合せ?の数 C(n,k) は、n個から k個を選ぶ方法の数。
順序は問わない。

白河 恭子 先生

ふふ、似た概念に順列?P(n,k) があって、こちらは順序も区別する数え方ね。

墨谷 まる

順序ありとなしで、何が違うの?

茶谷 結

5人から会長と副会長を選ぶなら順番が大事だから順列で 5P2=20。
5人から委員2人を選ぶなら順番は関係ないから組合せで 5C2=10ね。

橙川 こよみ

えへへ、なるほどぉ、役職アリか役割なしかで使い分けるんですねぇ♪

白河 恭子 先生

階乗?n! = n × (n-1) × … × 1 が基本。
0! = 1 と定義することも忘れずに。

墨谷 まる

電卓に n! ボタンがなくても、5×4×3×2×1 って順に掛けてけばいいんだね!

茶谷 結

C(n,k) は『分子は n から k 個分の積、分母は k!』って覚えると早いわ。
たとえば C(10,3) = (10×9×8)/(3×2×1) = 120 みたいにね。

橙川 こよみ

順列と組合せって式が似てますけど、関係あるんですかぁ?

茶谷 結

あるの。
順列は『組合せで選んでから並べ替える』分だけ多いのよ。
だから nPk = nCk × k! という関係になるの。

墨谷 まる

なるほど、選ぶだけが組合せで、そのあと並べる手間を足すと順列になるってことか!

白河 恭子 先生

3級では場合の数そのものより、これを使って二項分布や確率を求めさせる出題が多いのよ。
たとえば『コインを5回投げて表がちょうど2回』なら、5C2通りの並びを数えるのが出発点ね。

場合の数の3つの基本

1) 階乗 n!
  n! = n × (n−1) × … × 2 × 1
  0! = 1 (定義)
  例: 5! = 5×4×3×2×1 = 120

2) 順列 nPk (順序を区別)
  nPk = n! / (n−k)!
      = n × (n−1) × … × (n−k+1)  [k個分の積]
  例: 5P2 = 5 × 4 = 20

3) 組合せ nCk (順序を区別しない)
  nCk = n! / (k! × (n−k)!)
      = nPk / k!
  例: 5C2 = (5×4) / (2×1) = 10

電卓計算の楽な手順 (例: C(10, 3))
  分子: 10 × 9 × 8 = 720
  分母: 3 × 2 × 1 = 6
  C(10, 3) = 720 / 6 = 120

重要な対称性
  nCk = nC(n−k)  [例: C(10, 3) = C(10, 7) = 120]
  → k が大きい時は n−k で計算したほうが楽