3級頻出の『樹形図』と『2×2表』で確率を整理する技術を身につけましょう。
橙川 こよみ
条件付き確率の問題、いつも混乱しちゃうんですぅ…
茶谷 結
そういう時こそ樹形図か2×2表を書くのよ。
視覚化すると一気に整理されるわ。
白河 恭子 先生
あらあら、樹形図は『最初にA、次にB』のような順次試行に有効なのよ。
各枝に確率を書き込んで掛け合わせるの。
墨谷 まる
じゃあ2×2表は?
茶谷 結
陽性/陰性 × 病気/健康 のような『2つの分類軸 × 2状態』のマトリックスをそのまま表にする方法ね。
橙川 こよみ
全パターン見えるから安心ですぅ♪
白河 恭子 先生
ふふ、ベイズの定理の問題は、2×2表を書けば暗算で解けることが多いのよ。
試験では時短になるわね。
墨谷 まる
よっしゃ、実際にやってみたい!
橙川 こよみ
ふぇぇ、このあとの例だと…陽性が出ても病気じゃない方が多いんですかぁ?
白河 恭子 先生
そうなのよ。
元々の病気率が1%ととても低いから、健康な人の中に出る偽陽性の数が、病気の人の数を上回ってしまうの。
だから陽性でも約16%にとどまるのね。
技1: 樹形図 (順次試行)
袋に赤玉3個・白玉2個。順に2個取り出す(戻さない)。
両方赤の確率は?
1回目 2回目
赤 (3/5) ────────┬─→ 赤 (2/4) P = 3/5 × 2/4 = 3/10
└─→ 白 (2/4) P = 3/5 × 2/4 = 3/10
白 (2/5) ────────┬─→ 赤 (3/4) P = 2/5 × 3/4 = 3/10
└─→ 白 (1/4) P = 2/5 × 1/4 = 1/10
合計 10/10 = 1.0 ✓
→ 両方赤 = 3/10
同じ枝を使い回して別の問いも解ける:
・1個目赤・2個目白 = 3/5 × 2/4 = 3/10
・少なくとも1個白 = 1 − 両方赤 = 1 − 3/10 = 7/10
(『少なくとも〜』は余事象 1−P が速い)
技2: 2×2表 (ベイズの定理を解く)
病気率 1%, 検査の感度 95%, 偽陽性率 5%
陽性が出たとき、本当に病気の確率は?
| 病気 | 健康 | 合計
陽性 | 0.0095 | 0.0495 | 0.0590
陰性 | 0.0005 | 0.9405 | 0.9410
合計 | 0.01 | 0.99 | 1.0000
P(病気|陽性) = 0.0095 / 0.0590 ≈ 0.161
→ 陽性でも病気の確率は約16%にとどまる
確認クイズ
樹形図を使うのに最も適した場面はどれか。
- 1変量のヒストグラム作成
- 順次試行の確率計算(コイン連続投げ・玉の取り出し)
- 回帰直線の傾きを計算
- データの中央値を求める
こたえを見る
正解: 2. 順次試行の確率計算(コイン連続投げ・玉の取り出し)
樹形図は順次試行(コイン・サイコロ・玉の取り出しなど、複数段階で結果が決まる試行)の確率計算に最適です。
