二項分布の正規近似

nが大きい時、二項分布が正規分布に近似できる重要な性質を学びます。

茶谷 結

二項分布 B(n, p) で n が大きいとき、近似的に正規分布 N(np, np(1-p)) に従うの。

白河 恭子 先生

ふふ、目安は np ≥ 5 かつ n(1-p) ≥ 5 ね。
これを満たす場合に有効なのよ。

墨谷 まる

えー、なんでわざわざ近似するの?

茶谷 結

二項分布の確率計算は、n が大きくなると組合せの計算が大変なの。
たとえば C(100,60) なんて電卓でも桁が爆発してしまうわ。

墨谷 まる

うわ、それはあたしには無理だ…。
正規分布表なら一発なんだね!

茶谷 結

そうなの。
標準化してZに直せば、正規分布表で確率がすぐ引けるわ。

白河 恭子 先生

後のセクションで触れる中心極限定理にもつながる重要なテーマよ。
3級では近似条件(np≥5 かつ n(1-p)≥5)を満たすか判定させる問題や、近似後のμ・σ²を答えさせる問題が出るわ。

二項分布の正規近似

B(n, p) ≈ N(np, np(1-p))   [n が十分大きい場合]

目安: np ≥ 5 かつ n(1-p) ≥ 5

例: コインを100回投げて表が60回以上出る確率
  X ~ B(100, 0.5)
  np = 50, n(1-p) = 50 → 近似OK
  正規近似: X ≈ N(50, 25), σ = 5

  P(X ≥ 60)
  = P((X-50)/5 ≥ (60-50)/5)
  = P(Z ≥ 2)
  = 1 - 0.9772
  = 0.0228 (約2.3%)