二項分布の正規近似
B(n,p)を N(np, np(1-p)) に近似する条件と計算例を解説します。
nが大きい時、二項分布が正規分布に近似できる重要な性質を学びます。
白銀 ゆき
二項分布 B(n, p) で n が大きいとき、近似的に正規分布 N(np, np(1-p)) に従うの。
若葉 みどり 先生
ふふ、目安は np ≥ 5 かつ n(1-p) ≥ 5 ね。
これを満たす場合に有効なのよ。
胡桃 あんず
えー、なんでわざわざ近似するの?
白銀 ゆき
二項分布の確率計算は、n が大きくなると組合せの計算が大変なの。
たとえば C(100,60) なんて電卓でも桁が爆発してしまうわ。
胡桃 あんず
うわ、それはあたしには無理だ…。
正規分布表なら一発なんだね!
白銀 ゆき
そうなの。
標準化してZに直せば、正規分布表で確率がすぐ引けるわ。
若葉 みどり 先生
後のセクションで触れる中心極限定理にもつながる重要なテーマよ。
3級では近似条件(np≥5 かつ n(1-p)≥5)を満たすか判定させる問題や、近似後のμ・σ²を答えさせる問題が出るわ。
二項分布の正規近似 B(n, p) ≈ N(np, np(1-p)) [n が十分大きい場合] 目安: np ≥ 5 かつ n(1-p) ≥ 5 例: コインを100回投げて表が60回以上出る確率 X ~ B(100, 0.5) np = 50, n(1-p) = 50 → 近似OK 正規近似: X ≈ N(50, 25), σ = 5 P(X ≥ 60) = P((X-50)/5 ≥ (60-50)/5) = P(Z ≥ 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228 (約2.3%)
確認クイズ
B(100, 0.5) を正規分布に近似する時、平均と分散はいくつか。
- μ=50, σ²=25
- μ=50, σ²=50
- μ=100, σ²=25
- μ=0.5, σ²=1
こたえを見る
正解: 1. μ=50, σ²=25
μ = np = 100×0.5 = 50、σ² = np(1-p) = 100×0.5×0.5 = 25。
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