二項分布の期待値・分散

二項分布の期待値と分散は、統計検定3級の出題範囲に含まれる確率分布の基本事項です。

茶谷 結

二項分布 B(n, p) の期待値と分散には便利な公式があるの。

白河 恭子 先生

ふふ、E[X] = np、V(X) = np(1-p) よ。
覚えておくと公式当てはめだけで解ける問題が多いわ。

墨谷 まる

じゃあさ、サイコロを60回振って1の目が出る回数の期待値ってどれくらいになるの?

茶谷 結

n=60, p=1/6 だから E[X] = 60 × 1/6 = 10。
期待値は10回ね。

橙川 こよみ

わぁ、シンプルですねぇ♪

白河 恭子 先生

分散は np(1-p) = 60 × 1/6 × 5/6 = 60×5/36 ≈ 8.33 になるのよ。
標準偏差は √8.33 ≈ 2.89 ね。

茶谷 結

つまり中心は10回、ばらつきの尺度である標準偏差は約2.9回と読めるわね。
ただし、結果が必ず10±2.9回に収まるという保証ではない点に注意しましょう。

二項分布の期待値・分散

公式 (B(n, p)):
  E[X] = np
  V(X) = np(1-p)
  σ(X) = √(np(1-p))

例: サイコロを60回振って1が出る回数X (B(60, 1/6))
  E[X] = 60 × 1/6 = 10
  V(X) = 60 × 1/6 × 5/6 = 50/6 ≈ 8.33
  σ(X) = √8.33 ≈ 2.89

例: コインを10回投げて表の回数X (B(10, 0.5))
  E[X] = 10 × 0.5 = 5
  V(X) = 10 × 0.5 × 0.5 = 2.5
  σ(X) = √2.5 ≈ 1.58

二項分布になる四つの条件

二項分布B(n,p)を使う前に、(1)試行回数nが固定、(2)各試行の結果が成功・失敗の二つ、(3)各試行が独立、(4)成功確率pが一定、の四条件を確認します。10個の製品を独立に検査し、各製品の不良確率が0.1なら不良数は二項分布です。一方、小さな箱から製品を戻さず抽出すると、残りの構成が変わってpが一定にならないため、原則としてそのまま二項分布とはみなしません。

公式の意味と解き方

各試行について、成功なら1、失敗なら0となる指示変数を考えると、その期待値はp、分散はp(1-p)です。成功回数Xはn個の指示変数の和なので、期待値はnp、独立なら分散はnp(1-p)になります。期待値npが6.4回のような小数でも誤りではありません。実際の成功回数は整数ですが、長期反復での平均は小数になり得ます。

問題では最初にnとpを抜き出し、求めるものが期待値、分散、標準偏差のどれかに印を付けます。期待値はnp、分散はnp(1-p)、標準偏差はその平方根です。確率P(X=k)を求める問題では組合せを含む二項確率の式が必要で、平均・分散の公式だけでは求まりません。

よくある誤解

• 「期待値6回」を、必ず6回成功するという予測と考える。
• pではなく失敗確率1-pを成功確率として代入する。
• 分散np(1-p)と標準偏差√np(1-p)を取り違える。
• 独立でない戻さない抽出にも、条件を確認せず二項分布を使う。

範囲の確認先: 統計検定センター「統計検定3級」