ベイズの定理 (基礎)

3級の入口レベルで、ベイズの定理の意味を直感的に理解します。

茶谷 結

ベイズの定理?は、P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B) って書けるんですよね。

橙川 こよみ

難しそう…!

白河 恭子 先生

落ち着いて。
意味は『新しい証拠Bが得られた時に、Aの確率をどう更新するか』ということね。

墨谷 まる

病気の検査の話で出てくるやつだよね?

茶谷 結

補足すると、『陽性が出た時に本当に病気である確率』のような問題でよく使うのよね。

墨谷 まる

でもさ、感度95%の検査で陽性なのに、病気の確率が16%しかないって出るんでしょ? あたし、なんでそんなに低いのか全然ピンとこないよ!

白河 恭子 先生

ふふ、そこがベイズ最大の躓きどころね。
1000人で考えるとよく分かるわ。
病気の人は10人、そのうち陽性は9.5人。
一方、健康な990人のうちも5%、つまり49.5人が陽性になってしまうの。

橙川 こよみ

ふぇぇ…陽性の人は全部で 9.5+49.5=59人 もいるんですねぇ。

白河 恭子 先生

そう。
その59人のうち本当に病気なのは9.5人だから、9.5/59 ≈ 16%。
健康な人の母数が大きいぶん、偽陽性がたくさん混ざるのよ。

白河 恭子 先生

3級では公式を覚えて簡単な数値計算ができればOKよ。
深い理解は2級・準1級の範囲ね。

ベイズの定理の例

ある病気の有病率 P(病気) = 0.01 (1%)
検査の感度 P(陽性|病気) = 0.95
検査の偽陽性率 P(陽性|健康) = 0.05

陽性と判定された人が本当に病気である確率を求める

P(陽性) = P(陽性|病気)×P(病気) + P(陽性|健康)×P(健康)
      = 0.95 × 0.01 + 0.05 × 0.99
      = 0.0095 + 0.0495
      = 0.059

P(病気|陽性) = P(陽性|病気) × P(病気) / P(陽性)
            = 0.95 × 0.01 / 0.059
            ≈ 0.161

→ 陽性でも病気である確率は約16%しかない
→ 有病率の低い病気では偽陽性が多くなる