データの線形変換と平均・分散

すべてのデータを a 倍して b を足したらどうなる?平均と分散の変化を3級レベルで整理します。

白銀 ゆき

データ Xᵢ をすべて a 倍して b を足した、新しい変数 Y = aX + b を考えてみるの。

胡桃 あんず

えっ、そんなことして何になるの?

若葉 みどり 先生

単位変換でよく出てくるのよ。
たとえば℃→℉(華氏)の変換は F = 1.8C + 32 という線形変換ね。

白銀 ゆき

公式は3つ。
(1) E[Y] = a × E[X] + b、(2) V(Y) = a² × V(X)、(3) σ(Y) = |a| × σ(X) よ。

桜井 もも

なんで分散だけ a の二乗になるんですかぁ?

白銀 ゆき

分散は『平方の平均』だからね。
a 倍されると a² 倍に拡大するの。
標準偏差は元の単位に戻したものだから |a| 倍になるのよ。

胡桃 あんず

あ、切片 b は分散には効いてこないんだね!

若葉 みどり 先生

そうなのよ。
b は全データを一律に平行移動するだけだから、ばらつきは変わらない。
ここがポイントね。

胡桃 あんず

じゃあクラス全員の点数に一律 +10点しても、その点数のばらつきは1ミリも変わらないってこと?

若葉 みどり 先生

そのとおり。
全員が同じだけ上がるなら、点差(ばらつき)はそっくり残るのよ。

線形変換の公式 (Y = aX + b)

  期待値    E[Y] = a × E[X] + b
  分散      V(Y) = a² × V(X)
  標準偏差  σ(Y) = |a| × σ(X)

例: テストの素点 X が μ=70, σ=10 のとき
    Y = 0.5X + 30 (採点圧縮+ボーナス)

  E[Y] = 0.5 × 70 + 30 = 65
  V(Y) = 0.5² × 100 = 25
  σ(Y) = 0.5 × 10 = 5

  → 平均は65点に下がり、ばらつきも半分(σ=5)に

例: 気温の ℃→℉ 変換 (F = 1.8C + 32)
    平均 25℃, 標準偏差 4℃ のとき

  平均     = 1.8 × 25 + 32 = 77℉
  標準偏差 = 1.8 × 4      = 7.2℉   (+32 は標準偏差に効かない)

標準化との関係
  Z = (X − μ) / σ = (1/σ)X + (−μ/σ)
  → a = 1/σ, b = −μ/σ の線形変換
  → E[Z] = 0, V(Z) = 1 になることが式から確認できる