統計学最大の定理「中心極限定理」を、3級レベルで直感的に理解します。
茶谷 結
中心極限定理(CLT)は、母分布が何であっても、サンプルサイズnを大きくすると標本平均x̄の分布が正規分布に近づく、という驚くべき定理よ。
白河 恭子 先生
母集団がどんな分布(歪んだ分布、一様分布など)でも、x̄の分布は正規分布N(μ, σ²/n)に近づくの。
墨谷 まる
うわぁ、なんで何でも正規分布になっちゃうの?
茶谷 結
数学的には少し深い話になるけれど、直感的には『多くの小さな影響の合計は正規分布になる』という現象なの。
正規分布が自然界で頻繁に現れる理由でもあるわ。
橙川 こよみ
あのぉ…前回の大数の法則とどう違うんですかぁ?
ぽわわ…
白河 恭子 先生
とても大事な質問ね。
大数の法則は『x̄ が μ という1点に近づく』話。
中心極限定理は『その x̄ のバラつき方、つまり分布の“形”がきれいな正規分布になる』話なの。
茶谷 結
前者は“どこへ”近づくか、後者は“どんな形で散らばるか”を言っている、と整理すると混ざらないわ。
橙川 こよみ
なるほどぉ、行き先と散らばり方で役割が違うんですねぇ。
白河 恭子 先生
身近な例だとサイコロね。
1個だけ振ると1〜6の目が一様にバラバラ(平均3.5)。
でも30個振った“目の平均”を何度も記録すると、そのヒストグラムは釣鐘型の正規分布に近づいていくのよ。
墨谷 まる
へぇ〜!
1個ずつはガタガタなのに、平均にすると山型になるなんてすご〜い!
橙川 こよみ
えへへ、じゃあ標本平均は正規分布として扱えるんですねぇ♪
白河 恭子 先生
そう、これが推測統計の強力な土台なのよ。
母分布を知らなくても標本平均は正規分布で扱える、という汎用性が魅力ね。
茶谷 結
補足すると、目安として n ≥ 30 あれば十分よく近似できる、と言われているわ。
確認クイズ
中心極限定理について最も適切な記述はどれか。
- 母集団が正規分布である必要がある
- サンプルサイズが大きいと標本平均の分布は正規分布に近づく
- 中央値が母平均に等しい
- 標準偏差は0に近づく
こたえを見る
正解: 2. サンプルサイズが大きいと標本平均の分布は正規分布に近づく
中心極限定理は、母分布が何であっても標本平均の分布が正規分布に近づくという驚くべき定理。サンプル数 n≥30 が目安です。
