標本平均の分布

標本平均そのものが確率変数として分布を持つ、という発想を理解しましょう。

白銀 ゆき

標本を取るたびに標本平均は少し違う値になる。
つまりx̄は確率変数で、独自の分布を持つの。

若葉 みどり 先生

これが標本平均の分布?よ。
x̄ の期待値は母平均μ、x̄ の分散は σ²/n になるわ。

胡桃 あんず

へぇ〜、要はサンプルサイズnが大きいほど分散が小さくなるってこと?

白銀 ゆき

そう。
標準偏差は σ/√n で、これを標準誤差(SE)と呼ぶの。
サンプル数を増やせば推定精度が上がる仕組みよ。

桜井 もも

わぁ、100人より1000人の調査のほうが精度が高いんですねぇ♪

胡桃 あんず

ねぇ、SEが小さいって結局なにが嬉しいの?

白銀 ゆき

いい質問ね。
SEが小さい=どの標本を取っても x̄ が μ の近くに集まる、ということ。
つまり1回の調査で出た x̄ が信頼できる、精度が高いという意味なの。

胡桃 あんず

なるほど〜!
ブレが小さいほど安心して使えるってことだ。

若葉 みどり 先生

ただし精度は √n のオーダーでしか上がらないから、10倍精度を上げるには100倍のサンプルが必要、というのが統計の現実ね。

標本平均 x̄ の分布

サンプルサイズ n の標本平均 x̄ について

期待値        E[x̄] = μ          (母平均)
分散           V[x̄] = σ² / n     (母分散をnで割る)
標準誤差 (SE)  σ(x̄) = σ / √n

例: 母分散σ² = 100, n = 25 の場合
  E[x̄] = μ
  V[x̄] = 100/25 = 4
  σ(x̄) = √4 = 2

  → 標本平均は母平均から平均的に2のズレに収まる

『n を4倍 → SE は半分』の確認 (母標準偏差 σ = 10 のとき)
  n = 25  → SE = 10/√25 = 10/5  = 2
  n = 100 → SE = 10/√100 = 10/10 = 1
  → n を4倍(25→100)にすると SE は 2→1 で半分になる